Logaritmo Video 1

Equação Exponencial Video 1

logaritmos por: Phelipe Silva

exercicios LOG

Exercício 1: (FUVEST 2010)
A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justificase pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.
Está correto o que se afirma somente em:

A)	I.
B)	II.
C)	III.
D)	I e II.
E)	I e III.

---

Exercício 2: (UDESC 2008)
Sabendo que log₃(7x - 1) = 3 e que log₂(y³ + 3) = 7 pode-se afirmar que log_y(x² + 9) é igual a:

A)	6
B)	2
C)	4
D)	-2
E)	-4

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Exercício 3: (UFMG 2009)
Numa calculadora científica, ao se digitar um número positivo qualquer e, em seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do número inicialmente digitado.
Digita-se o número 10.000 nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, a tecla log, até aparecer um número negativo no visor. Então, é CORRETO afirmar que o número N é igual a:

A)	2
B)	3
C)	4
D)	5

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Exercício 4: (UDESC 2008)
Se log_a b = 3 e log_ab c = 4, então log_a c é:

A)	12
B)	16
C)	24
D)	8
E)	6

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Exercício 5: (UFMS 2010)
Dado o sistema a seguir, e considerando log o logaritmo na base 10, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).

1)	log ( x - 9y ) = 0
2)	log (x + 9y) = 1
4)	( x + y ) = 10
8)	( x × y ) = 10
16)	( x ÷ y ) = 10

video aula funçao exponencial

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Função Logarítmica
As funções na forma f(x) = logax são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ≠ 1, sendo f
: R*+ → R. Exemplos:
f(x) = log2x
f(x) = log5(x – 2)
f(x) = log(a – 2)4
f(x) = log0,5x
O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições:
Crescente: base maior que 1.
Decrescente: base maior que zero e menor que 1.
Função crescente
Função decrescente
As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades destinadas ao estudo
dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conhecimento prévio dessas
propriedades.
Na equação: Q = Q0 * e– r * t, Q representa a massa final da substância, Q0, a massa
inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em anos. Note que nessa equação, a massa final
está em função do tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em quantos anos
50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa de variação de 8% ao ano.
O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e 9 meses.

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita,
nesses casos, pertence ao logaritmando ou à base.
As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita,
nesses casos, está no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um logaritmo possui o
seguinte formato:
loga b = x ↔ ax = b,
*a é a base do logaritmo; b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos as propriedades operatórias dos
logaritmos e os conceitos tradicionais de resolução de inequações. Assim como fazemos
com as equações logarítmicas, é importante verificar as condições de existência dos
logaritmos (tanto a base quanto o logaritmando devem ser maiores que zero).
Ao desenvolver as inequações logarítmicas, podemos alcançar duas situações:
1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base:
loga b < loga c
Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for maior do que 1 (a > 1), podemos
desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os logaritmandos, isto é:
Se a > 1 , então loga b < loga c ↔ b < c
Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao resolver a inequação
logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação entre os
logaritmandos, ou seja:
Se 0 > a > 1 , então loga b < loga c ↔ b > c
2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real:
loga b < x
Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma desigualdade entre
um logaritmo e um número real, podemos aplicar a propriedade básica do logaritmo,
mantendo intacto o símbolo da desigualdade:
loga b < x ↔ b < ax
ou
loga b > x ↔ b > ax
Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações logarítmicas:
Exemplo 1: log5 (2x – 3) < log5 x
Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:
2x – 3 > 0
2x > 3
x > 3/2
x > 0
Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos
então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:
log5 (2x – 3) < log5 x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3
Nesse caso, a solução é .
Exemplo 2: log2 (x + 3) ≥ 3
Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:
x + 3 > 0
x > – 3
Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Podemos resolver
o logaritmo da forma convencional, mantendo a desigualdade:
log2 (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 23
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5
A solução é .
Exemplo 3: log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:
3x > 0
x > 0 2x + 5 > 0
2x > – 5
x > – 5/2
Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é menor do
que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os
logaritmandos:
log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x – 2x < 5
x < 5
Nesse caso, a solução é .

EQUAÇÃO LOGARITMICA

Equação logarítmica
Uma equação logarítmica apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando.
Lembrando que um logaritmo possui o seguinte formato:
loga b = x ↔ ax = b,
*a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Ao resolver equações logarítmicas, devemos ter ciência das propriedades operatórias dos
logaritmos, pois elas podem facilitar o desenvolvimento dos cálculos. Há, até mesmo,
algumas situações em que não é possível resolver a equação sem lançar mão dessas
propriedades.
Para resolver equações logarítmicas, aplicamos os conceitos tradicionais de resolução de
equações e de logaritmos até que a equação chegue a dois possíveis casos:
1º) Igualdade entre logaritmos de mesma base:
Se ao resolver uma equação logarítmica, chegarmos a uma situação de igualdade entre
logaritmos de mesma base, basta igualar aos logaritmandos. Exemplo:
loga b = loga c → b = c
2º) Igualdade entre um logaritmo e um número real
Se a resolução de uma equação logarítmica resultar na igualdade de um logaritmo e um
número real, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:
loga b = x ↔ ax = b
Veja alguns exemplos de equações logarítmicas:
1° Exemplo:
log2 (x + 1) = 2
Vamos testar a condição de existência desse logaritmo. Para tanto, o logaritmando deve ser
maior do que zero:
x + 1 > 0
x > – 1
Nesse caso, temos um exemplo do 2º caso, portanto, desenvolveremos o logaritmo da
seguinte forma:
log2 (x + 1) = 2
22 = x + 1
x = 4 – 1
x = 3
2° Exemplo:
log5 (2x + 3) = log5 x
Testando as condições de existência, temos:
2x + 3 > 0
2x > – 3
x > – 3/2 x > 0
Nessa equação logarítmica, há um exemplo do 1º caso. Como há uma igualdade entre
logaritmos de mesma base, devemos formar uma equação apenas com os logaritmandos:
log5 (2x + 3) = log5 x
2x + 3 = x
2x – x = – 3
x = – 3
3° Exemplo:
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
Verificando as condições de existência, temos:
x + 2 > 0
x > – 2 2x > 0
x > 0
Aplicando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a subtração de logaritmos de
mesma base como um quociente:
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
Chegamos a um exemplo do 1º caso, portanto devemos igualar os logaritmandos:
x + 2 = 5
2x
x + 2 = 10x
9x = 2
x = 2/9
4° exemplo:
logx – 1 (3x + 1) = 2
Ao verificar as condições de existência, devemos analisar também a base do logaritmo:
x – 1 > 0
x > 1 3x + 1 > 0
3x > – 1
x > – 1/3
Essa equação logarítmica pertence ao 2° caso. Resolvendo-a, temos:
logx – 1 (3x + 1) = 2
(x – 1)2 = 3x + 1
x² – 2x + 1 = 3x + 1
x² – 5x = 0
x.(x – 5) = 0
x' = 0
x'' – 5 = 0
x'' = 5
Observe que pelas condições de existência (x > 1), a solução x' = 0 não é possível.
Portanto, a única solução para essa equação logarítmica é x'' = 5.
5° exemplo:
log3 log6 x = 0
Aplicando as condições de existência, temos que x > 0 e log6 x> 0. Logo:
log3 (log6 x) = 0
30 = log6 x
log6 x = 1
61 = x
x = 6

LOGARITMO

Logaritmo
Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve
ser elevado para produzir este número.Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3
porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 103). De maneira geral, para quaisquer
dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1,[4]
O logaritmo da base 10 (b = 10) é chamado de logaritmo comum (ou decimal) e tem
diversas aplicações na ciência e engenharia. O logaritmo natural (ou neperiano) tem a
constante irracional e (≈ 2,718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente
em cálculo diferencial. Ainda há o logaritmo binário, no qual se usa base 2 (b = 2), que é
importante para a ciência da computação.
O conceito de logaritmo foi introduzido por John Napier no início do século XVII a fim de
simplificar cálculos, daí a nomenclatura logaritmo neperiano.Ele foi rapidamente adotado
por navegadores, cientistas, engenheiros e outros profissionais para facilitar seus cálculos,
através do uso de réguas de cálculo e tabelas logarítmicas. Algumas etapas tediosas da
multiplicação com vários dígitos podem ser substituídas por consultas a tabelas ou por
somas mais simples devido ao fato de o logaritmo de um produto ser o somatório dos
logaritmos dos fatores:
desde que b, x e y sejam positivos e b ≠ 1.
A atual noção de logaritmo advém de Leonhard Euler, que o relacionou com a função
exponencial no século XVIII.[8] As escalas logarítmicas permitem reduzir grandezas de
elevada amplitude para valores menores. Por exemplo, o decibel é uma unidade logarítmica
que indica a proporção de uma quantidade física (geralmente energia ou intensidade) em
relação a um nível de referência, isto é, estabelece uma razão entre a quantificação da
energia liberada e a amplitude.] Em química, o potencial hidrogeniônico (pH) mede a acidez
e a alcalinidade de soluções aquosas. Os logaritmos ainda são comuns em fórmulas
científicas, na teoria da complexidade computacional e de figuras geométricas chamadas
fractais.Eles descrevem intervalos musicais, aparecem em fórmulas que contam os
números primos, informam vários modelos da psicofísica e podem auxiliar na perícia
contábil.
Do mesmo modo como o logaritmo é o inverso da exponenciação, o logaritmo complexo é a
função inversa da função exponencial aplicada a números complexos. O logaritmo discreto
é outra variante; ele é utilizado na criptografia assimétrica.

questoes resolvidas; equaçao exponencial

Questão 1:Se x é um número real, resolva a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18:

Para resolver a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas.

3^2x + 3^{x + 1} = 18
(3^x)² + 3^x · 3¹= 18

Tome y = 3^x. Temos a seguinte equação em função de y:

y² + y · 3¹= 18
y² + 3y – 18 = 0

Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 18)
Δ = 9 + 72
Δ = 81

y = – b ± √Δ
     2.a

y = – 3 ± √81
      2.1

y = – 3 ± 9
      2

y1 = – 3 + 9         2 y1 = 6         2 y1 = 3

y2 = – 3 – 9        2 y2 = – 12         2 y2 = – 6

Voltando à equação y = 3^x, temos:

Para y1 = 3 3x = y 3x = 3 x1 = 1

Para y2 = – 6 3x = y 3x = – 6 x2 = Ø

Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = 1.

Resolva a equação exponencial:– 5^{x – 1} – 5^x + 5^{x + 2} = 119

Como temos na equação a adição e a subtração de potências, não podemos escrever o primeiro membro como uma só potência, mas podemos desmembrar as potências na maior quantidade possível. Isso corresponde a escrever a equação da seguinte forma:

– 5^{x – 1} – 5^x + 5^{x + 2} =
– 5^x · 5^{– 1} – 5^x + 5^x · 5² =

Colocando o termo 5^x em evidência, temos:

5^x · (– 5^{– 1} – 1 + 5²) =
5^x · (^{– 1}/₅ – 1 + 25) =


5^x = 5
x = 1

Questão 3

(UFJF) Dada a equação 2^{3x – 2} · 8^{x + 1} = 4^{x – 1}, podemos afirmar que sua solução é um número:

a) natural.

b) maior do que 1.

c) de módulo maior do que 1.

d) par.

e) de módulo menor do que 1.

Resposta Questão 3

A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 2^{3x – 2} · 8^{x + 1} = 4^{x – 1}, vamos reescrever todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 2² e 8 = 2³. Substituindo na equação:

2^{3x – 2} · 8^{x + 1} = 4^{x – 1}
2^{3x – 2} · (2³)^{x + 1} = (2²)^{x – 1}
2^{3x – 2} · 2^{3(x + 1)} = 2^{2(x – 1)}
2^{3x – 2} · 2^{3x + 3} = 2^{2x – 2}
2^{(3x – 2 ) + (3x + 3)} = 2^{2x – 2}

Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação, podemos igualar os expoentes:

(3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2
6x + 1 = 2x – 2
6x – 2x = – 2 – 1
4x = – 3
x = – 3
      4
|x| = ¾

Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra e, que afirma que x é um número de módulo menor do que 1.

Inequação Exponencial

Inequação Exponencial
O avanço comercial do século XVII fez surgir o cálculo exponencial e os logaritmos. A partir
daí, durante os três séculos que se seguiram, essas ferramentas foram utilizadas como
meios sofisticados de resolução de cálculos. À medida que os estudos nesses campos
foram evoluindo, os cálculos exponenciais e logarítmicos foram se tornando decisivos para
a evolução da matemática e, consequentemente, das várias outras ciências que dela
dependem.
Inequações exponenciais
Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas que
apresentam a incógnita no expoente. Confira alguns exemplos:
Resolução de inequações exponenciais
A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada através das propriedades da
potenciação. Mas lembre-se de que f(x) = ax somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a
< 1, f(x) = ax é decrescente.
Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos
dois membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em
seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se às regras dos sinais:
Caso a > 1, mantenha o sinal original.
Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.
Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções que se seguem. Vamos resolver
os exemplos das inequações anteriores.
2x ≥ 128
Por fatoração, 128 = 27. Portanto:
2x ≥ 27 → como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os
expoentes.
x ≥ 7
S = {x ∈ R | x ≥ 7}
Neste exemplo as bases já são iguais. Porém, é necessário observar que 0 < a < 1. Diante
dessa condição, inverte-se o sinal.
x > 2.
S = {x ∈ R | x > 2}
4x + 4 > 5 . 2x
Perceba que, por fatoração, 4x = 22x e 22x é o mesmo que (2x)². Reescrevendo a
inequação, temos:
(2x)² + 4 > 5 . 2x
Chamando 2x de t, para facilitar a resolução, ficamos com:
t2 + 4 > 5 t
t2 – 5 t + 4 > 0
Aqui temos uma inequação de 2º grau, onde deve ser feito o estudo dos sinais. Não vamos
mostrar o processo de resolução da inequação de 2º grau, visto que o texto trata das
exponenciais. Fica como sugestão de exercícios para os leitores.
Ao resolver, você encontrará D = 9, t1 = 1 e t2 = 4. Como a > 0, a concavidade da parábola
ficará para cima. Isso significa que, como estamos procurando valores que tornem a
inequação positiva, ficamos com:
t < 1 ou t > 4.
Retornando à variável inicial:
t = 2x
2x < 1 → x < 0 → lembre-se que todo número elevado a 1 é igual
ao próprio número, e que todo número elevado a zero é igual a 1.
2x > 4 → 2x > 22 → x > 2.
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2}
2x ≤ 8 → 2x ≤ 23 → x ≤ 3 (S1)
3x – 6 > 0 → 3x > 6 → x > 2 (S2)
A solução final é dada pela interseção das duas soluções encontradas.
S = S1 ∩ S2
S = {x ∈ R | 2 < x ≤ 3}

Função Exponencial

FUNÇÃO EXPONENCIAL
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é
denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de
dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se
encontra no expoente.
Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x
precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos
duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as
condições propostas:
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de
variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por
juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de
bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções
exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo
potenciação.
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t
anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real.
Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi
comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500
bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do
país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900

Equação Exponencial

Equação exponencial

As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Observe
os exemplos:
2x = 256
3x+1 = 9
4x = 1024
2x+2 = 512
As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos
igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes. Observe
a resolução da seguinte equação:
5x = 625 (fatorando 625 temos: 54)
5x = 54
x = 4
A solução da equação exponencial será x = 4.
Observação: fatorar significa decompor o número em fatores primos, isto é, escrever o
número através de uma multiplicação de fatores iguais utilizando as regras de potenciação.
Acompanhe outro exemplo:
Vamos determinar a solução da equação 2x + 8 = 512.
Devemos escrever 512 na forma fatorada, 512 = 29.
Então:
2x + 8 = 29
x + 8 = 9
x = 9 – 8
x = 1
A solução da equação exponencial 2x + 8 = 512 é x = 1.
Exemplo 1
Resolva a equação .
Transforme a raiz quinta em potência:
2x = 1281/5
Pela fatoração do número 128 temos 27, então:
2x = (27)1/5
x = 7 . 1/5
x = 7/5
Portanto, a solução da equação exponencial é x = 7/5.
Exemplo 2
Encontre o valor de x que satisfaça a equação exponencial 2x² - 7x + 12 = 1.
Para igualar as bases, vamos lembrar a regra da potenciação que diz o seguinte: “todo
número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.”
Com base na regra, podemos dizer que 1 = 20, então:
2x² - 7x + 12 = 20
x² - 7x + 12 = 0, temos uma equação completa do 2º grau que deverá ser resolvida pelo
teorema de Bháskara. Aplicando o método resolutivo descobrimos os seguintes valores:
x’ = 3 e x” = 4.
Portanto, os valores que satisfazem a equação exponencial 2x² - 7x + 12 = 1 é x = 3 e x = 4.

funçao por : Phelipe Silva

https://youtu.be/rPYCsZpT6ro

Função Afim 2

https://www.youtube.com/watch?v=WuK1V30imuY&feature=youtu.be

Função Afim

https://www.youtube.com/watch?v=reYXc8VuWnk

Função Quadrática

https://www.youtube.com/watch?v=JnGgbQo8za8

Função do 1º grau

Função do 1º grau

A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.

A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

Função crescente                                                            Função decrescente 




Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem. 

Exemplos de funções do 1º grau

y = 4x + 2, a = 4 e b = 2

y = 5x – 9, a = 5 e b = –9

y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10

y = 3x, a = 3 e b = 0

y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1 

y = – 7x + 7, a = –7 e b = 7

Raiz ou zero de uma função do 1º grau 

Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.

Vamos determinar a raiz das funções a seguir:

y = 4x + 2 
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2


y = – 2x + 10
y = 0
– 2x + 10 = 0
– 2x = – 10 (–1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5 

y = – 7x + 7
y = 0
–7x + 7 = 0
–7x = –7
x = 1
A reta representada pela função y = –7x + 7 intersecta o eixo x no seguinte valor: 1

y = 3x
y = 0
3x = 0
x = 0
A reta representada pela função y = 3x intersecta o eixo x no seguinte valor: 0

Coordenadas do Vértice de uma Parábola

Para determinarmos os vértices de uma parábola temos que encontrar o par ordenado de pontos que constituem as coordenadas de retorno da parábola. Esse ponto de retorno da parábola, mais conhecido como vértice da parábola, pode ser calculado com base nas expressões matemáticas envolvendo os coeficientes da função do 2º grau dada pela lei de formação y = ax² + bx + c. 

O valor de x na determinação do vértice de uma parábola é dado por  e o valor de y é calculado por  . Nesse caso, temos que, quando o coeficiente a for maior que zero, a parábola possui valor mínimo e quando a menor que zero, valor máximo. 


Valor mínimo (a > 0)

Valor máximo (a < 0) 

Exemplo 
Para produzirmos x unidades de uma mercadoria, temos que o custo dessa produção em reais é dado pela expressão matemática C = x² – 80x + 3000. Com base nessa expressão, determine a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e qual o valor mínimo do custo. 

Quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo será de 40 peças. Observe:

Valor mínimo do custo será de R$ 1 400,00. Veja:

logaritimos por Phelipe silva

https://youtu.be/ygZsXGAr6Xg

Função Quadrática

 Função Quadrática

  Definição
    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

    Observação:

   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

    Temos:

                   

Observação

   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando é negativo, não há raiz real.

Exercícios Função do 1° Grau

Questão 1

Determine os zeros das funções a seguir:

a) y = 5x + 2

b) y = – 2x

c) f(x) =  x + 4
              2

Questão 2

Classifique cada uma das funções seguintes em crescente ou decrescente:

a) y = 4x + 6

b) f(x) = – x + 10

c) y = (x + 2)² – (x – 1)²

Questão 3

(UFPI) A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando:

a) a > 0

b) a < 3/2

c) a = 3/2

d) a > 3/2

e) a < 3

Questão 4

(FGV) O gráfico da função f (x) = mx + n passa pelos pontos (– 1, 3) e (2, 7). O valor de m é:

a) 5/3

b) 4/3

c) 1

d) 3/4

e) 3/5

Respostas

• Resposta Questão 1
  a) y = 5x + 2

  Primeiramente, façamos y = 0, então:

  5x + 2 = 0, o número 2 mudará de lado e o sinal também será mudado.
  5x = – 2, o número 5 mudará de lado e realizará uma divisão.
  x = – 2
          5

  O zero da função y = 5x + 2 é o valor: x = – 2
                                                             5

  b) y = – 2x

  Façamos y = 0, então:

  – 2x = 0, o número – 2 mudará de lado e realizará uma divisão. Mas como o número zero dividido por qualquer número resulta em zero, x = 0.

  O zero da função y = – 2x é x = 0.

  c) f(x) =  x + 4
                2

  Façamos f(x) = 0, então:

  x + 4 = 0, o número 4 mudará de lado e o sinal também será mudado.
  2

  x = - 4, o número 2 mudará de lado e realizará uma multiplicação.
  2

  x = (– 4) . 2
  x = – 8

  Portanto, o zero da função f(x) = x + 4 é dado por x = – 8.
                                              2
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• Resposta Questão 2
  Em uma função do tipo y = ax + b, o coeficiente a de x indica se a função é crescente ou decrescente.

  a) y = 4x + 6

  Nessa função, a = 4 > 0, portanto, y é uma função crescente.

  b) f(x) = – x + 10

  Como a = – 1 < 0, f(x) é uma função decrescente.

  c) y = (x + 2)² – (x – 1)²

  Nesse caso precisamos desenvolver os parênteses através dos produtos notáveis.

  x² + 4x + 4 – (x – 1)²
  x² + 4x + 4 – (x² – 2x + 1)
  x² + 4x + 4 – x² + 2x – 1
  6x + 3
  y = 6x + 3. Como a = 6 > 0, y é uma função crescente.
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• Resposta Questão 3
  Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:

  3 – 2a > 0
  – 2a > 0 – 3
  (– 1). (– 2a) > (– 3). (– 1)
  2a < 3
  a < 3
        2

  Portanto, a alternativa correta é a letra b.
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• Resposta Questão 4
  O primeiro ponto que é dado é o (– 1, 3), em que o valor de x é – 1 e o valor de f(x) é 3. Substituindo esses valores na função, temos:

  f (x) = mx + n
  3 = m.(– 1) + n
  n = 3 + m

  Vamos também substituir o segundo ponto (2, 7) na função, sendo que x vale 2 e f(x) vale 7:

  f (x) = mx + n
  7 = m.2 + n
  n = 7 – 2m

  Nas duas substituições feitas, encontramos dois valores para n. Se igualarmos essas duas equações, teremos:

  3 + m = 7 – 2m
  m + 2m = 7 – 3
  3m = 4
  m = 4
         3

  A alternativa correta é a letra b.