domingo, 27 de novembro de 2016
exercicios LOG
A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justificase pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.
Está correto o que se afirma somente em:
Exercício 2: (UDESC 2008)
Sabendo que log3(7x - 1) = 3 e que log2(y3 + 3) = 7 pode-se afirmar que logy(x2 + 9) é igual a:
Exercício 3: (UFMG 2009)
Numa calculadora científica, ao se digitar um número positivo qualquer e, em seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do número inicialmente digitado.
Digita-se o número 10.000 nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, a tecla log, até aparecer um número negativo no visor. Então, é CORRETO afirmar que o número N é igual a:
Exercício 4: (UDESC 2008)
Se loga b = 3 e logab c = 4, então loga c é:
Exercício 5: (UFMS 2010)
Dado o sistema a seguir, e considerando log o logaritmo na base 10, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).
quarta-feira, 23 de novembro de 2016
terça-feira, 22 de novembro de 2016
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Função Logarítmica
As funções na forma f(x) = logax são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ≠ 1, sendo f
: R*+ → R. Exemplos:
f(x) = log2x
f(x) = log5(x – 2)
f(x) = log(a – 2)4
f(x) = log0,5x
O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições:
Crescente: base maior que 1.
Decrescente: base maior que zero e menor que 1.
Função crescente
Função decrescente
As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades destinadas ao estudo
dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conhecimento prévio dessas
propriedades.
Na equação: Q = Q0 * e– r * t, Q representa a massa final da substância, Q0, a massa
inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em anos. Note que nessa equação, a massa final
está em função do tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em quantos anos
50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa de variação de 8% ao ano.
O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e 9 meses.
As funções na forma f(x) = logax são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ≠ 1, sendo f
: R*+ → R. Exemplos:
f(x) = log2x
f(x) = log5(x – 2)
f(x) = log(a – 2)4
f(x) = log0,5x
O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições:
Crescente: base maior que 1.
Decrescente: base maior que zero e menor que 1.
Função crescente
Função decrescente
As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades destinadas ao estudo
dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conhecimento prévio dessas
propriedades.
Na equação: Q = Q0 * e– r * t, Q representa a massa final da substância, Q0, a massa
inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em anos. Note que nessa equação, a massa final
está em função do tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em quantos anos
50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa de variação de 8% ao ano.
O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e 9 meses.
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita,
nesses casos, pertence ao logaritmando ou à base.
As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita,
nesses casos, está no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um logaritmo possui o
seguinte formato:
loga b = x ↔ ax = b,
*a é a base do logaritmo; b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos as propriedades operatórias dos
logaritmos e os conceitos tradicionais de resolução de inequações. Assim como fazemos
com as equações logarítmicas, é importante verificar as condições de existência dos
logaritmos (tanto a base quanto o logaritmando devem ser maiores que zero).
Ao desenvolver as inequações logarítmicas, podemos alcançar duas situações:
1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base:
loga b < loga c
Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for maior do que 1 (a > 1), podemos
desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os logaritmandos, isto é:
Se a > 1 , então loga b < loga c ↔ b < c
Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao resolver a inequação
logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação entre os
logaritmandos, ou seja:
Se 0 > a > 1 , então loga b < loga c ↔ b > c
2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real:
loga b < x
Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma desigualdade entre
um logaritmo e um número real, podemos aplicar a propriedade básica do logaritmo,
mantendo intacto o símbolo da desigualdade:
loga b < x ↔ b < ax
ou
loga b > x ↔ b > ax
Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações logarítmicas:
Exemplo 1: log5 (2x – 3) < log5 x
Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:
2x – 3 > 0
2x > 3
x > 3/2
x > 0
Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos
então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:
log5 (2x – 3) < log5 x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3
Nesse caso, a solução é .
Exemplo 2: log2 (x + 3) ≥ 3
Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:
x + 3 > 0
x > – 3
Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Podemos resolver
o logaritmo da forma convencional, mantendo a desigualdade:
log2 (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 23
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5
A solução é .
Exemplo 3: log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:
3x > 0
x > 0 2x + 5 > 0
2x > – 5
x > – 5/2
Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é menor do
que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os
logaritmandos:
log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x – 2x < 5
x < 5
Nesse caso, a solução é .
As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita,
nesses casos, pertence ao logaritmando ou à base.
As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita,
nesses casos, está no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um logaritmo possui o
seguinte formato:
loga b = x ↔ ax = b,
*a é a base do logaritmo; b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos as propriedades operatórias dos
logaritmos e os conceitos tradicionais de resolução de inequações. Assim como fazemos
com as equações logarítmicas, é importante verificar as condições de existência dos
logaritmos (tanto a base quanto o logaritmando devem ser maiores que zero).
Ao desenvolver as inequações logarítmicas, podemos alcançar duas situações:
1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base:
loga b < loga c
Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for maior do que 1 (a > 1), podemos
desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os logaritmandos, isto é:
Se a > 1 , então loga b < loga c ↔ b < c
Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao resolver a inequação
logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação entre os
logaritmandos, ou seja:
Se 0 > a > 1 , então loga b < loga c ↔ b > c
2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real:
loga b < x
Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma desigualdade entre
um logaritmo e um número real, podemos aplicar a propriedade básica do logaritmo,
mantendo intacto o símbolo da desigualdade:
loga b < x ↔ b < ax
ou
loga b > x ↔ b > ax
Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações logarítmicas:
Exemplo 1: log5 (2x – 3) < log5 x
Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:
2x – 3 > 0
2x > 3
x > 3/2
x > 0
Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos
então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:
log5 (2x – 3) < log5 x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3
Nesse caso, a solução é .
Exemplo 2: log2 (x + 3) ≥ 3
Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:
x + 3 > 0
x > – 3
Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Podemos resolver
o logaritmo da forma convencional, mantendo a desigualdade:
log2 (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 23
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5
A solução é .
Exemplo 3: log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:
3x > 0
x > 0 2x + 5 > 0
2x > – 5
x > – 5/2
Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é menor do
que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os
logaritmandos:
log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x – 2x < 5
x < 5
Nesse caso, a solução é .
EQUAÇÃO LOGARITMICA
Equação logarítmica
Uma equação logarítmica apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando.
Lembrando que um logaritmo possui o seguinte formato:
loga b = x ↔ ax = b,
*a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Ao resolver equações logarítmicas, devemos ter ciência das propriedades operatórias dos
logaritmos, pois elas podem facilitar o desenvolvimento dos cálculos. Há, até mesmo,
algumas situações em que não é possível resolver a equação sem lançar mão dessas
propriedades.
Para resolver equações logarítmicas, aplicamos os conceitos tradicionais de resolução de
equações e de logaritmos até que a equação chegue a dois possíveis casos:
1º) Igualdade entre logaritmos de mesma base:
Se ao resolver uma equação logarítmica, chegarmos a uma situação de igualdade entre
logaritmos de mesma base, basta igualar aos logaritmandos. Exemplo:
loga b = loga c → b = c
2º) Igualdade entre um logaritmo e um número real
Se a resolução de uma equação logarítmica resultar na igualdade de um logaritmo e um
número real, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:
loga b = x ↔ ax = b
Veja alguns exemplos de equações logarítmicas:
1° Exemplo:
log2 (x + 1) = 2
Vamos testar a condição de existência desse logaritmo. Para tanto, o logaritmando deve ser
maior do que zero:
x + 1 > 0
x > – 1
Nesse caso, temos um exemplo do 2º caso, portanto, desenvolveremos o logaritmo da
seguinte forma:
log2 (x + 1) = 2
22 = x + 1
x = 4 – 1
x = 3
2° Exemplo:
log5 (2x + 3) = log5 x
Testando as condições de existência, temos:
2x + 3 > 0
2x > – 3
x > – 3/2 x > 0
Nessa equação logarítmica, há um exemplo do 1º caso. Como há uma igualdade entre
logaritmos de mesma base, devemos formar uma equação apenas com os logaritmandos:
log5 (2x + 3) = log5 x
2x + 3 = x
2x – x = – 3
x = – 3
3° Exemplo:
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
Verificando as condições de existência, temos:
x + 2 > 0
x > – 2 2x > 0
x > 0
Aplicando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a subtração de logaritmos de
mesma base como um quociente:
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
Chegamos a um exemplo do 1º caso, portanto devemos igualar os logaritmandos:
x + 2 = 5
2x
x + 2 = 10x
9x = 2
x = 2/9
4° exemplo:
logx – 1 (3x + 1) = 2
Ao verificar as condições de existência, devemos analisar também a base do logaritmo:
x – 1 > 0
x > 1 3x + 1 > 0
3x > – 1
x > – 1/3
Essa equação logarítmica pertence ao 2° caso. Resolvendo-a, temos:
logx – 1 (3x + 1) = 2
(x – 1)2 = 3x + 1
x² – 2x + 1 = 3x + 1
x² – 5x = 0
x.(x – 5) = 0
x' = 0
x'' – 5 = 0
x'' = 5
Observe que pelas condições de existência (x > 1), a solução x' = 0 não é possível.
Portanto, a única solução para essa equação logarítmica é x'' = 5.
5° exemplo:
log3 log6 x = 0
Aplicando as condições de existência, temos que x > 0 e log6 x> 0. Logo:
log3 (log6 x) = 0
30 = log6 x
log6 x = 1
61 = x
x = 6
Uma equação logarítmica apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando.
Lembrando que um logaritmo possui o seguinte formato:
loga b = x ↔ ax = b,
*a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Ao resolver equações logarítmicas, devemos ter ciência das propriedades operatórias dos
logaritmos, pois elas podem facilitar o desenvolvimento dos cálculos. Há, até mesmo,
algumas situações em que não é possível resolver a equação sem lançar mão dessas
propriedades.
Para resolver equações logarítmicas, aplicamos os conceitos tradicionais de resolução de
equações e de logaritmos até que a equação chegue a dois possíveis casos:
1º) Igualdade entre logaritmos de mesma base:
Se ao resolver uma equação logarítmica, chegarmos a uma situação de igualdade entre
logaritmos de mesma base, basta igualar aos logaritmandos. Exemplo:
loga b = loga c → b = c
2º) Igualdade entre um logaritmo e um número real
Se a resolução de uma equação logarítmica resultar na igualdade de um logaritmo e um
número real, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:
loga b = x ↔ ax = b
Veja alguns exemplos de equações logarítmicas:
1° Exemplo:
log2 (x + 1) = 2
Vamos testar a condição de existência desse logaritmo. Para tanto, o logaritmando deve ser
maior do que zero:
x + 1 > 0
x > – 1
Nesse caso, temos um exemplo do 2º caso, portanto, desenvolveremos o logaritmo da
seguinte forma:
log2 (x + 1) = 2
22 = x + 1
x = 4 – 1
x = 3
2° Exemplo:
log5 (2x + 3) = log5 x
Testando as condições de existência, temos:
2x + 3 > 0
2x > – 3
x > – 3/2 x > 0
Nessa equação logarítmica, há um exemplo do 1º caso. Como há uma igualdade entre
logaritmos de mesma base, devemos formar uma equação apenas com os logaritmandos:
log5 (2x + 3) = log5 x
2x + 3 = x
2x – x = – 3
x = – 3
3° Exemplo:
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
Verificando as condições de existência, temos:
x + 2 > 0
x > – 2 2x > 0
x > 0
Aplicando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a subtração de logaritmos de
mesma base como um quociente:
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
Chegamos a um exemplo do 1º caso, portanto devemos igualar os logaritmandos:
x + 2 = 5
2x
x + 2 = 10x
9x = 2
x = 2/9
4° exemplo:
logx – 1 (3x + 1) = 2
Ao verificar as condições de existência, devemos analisar também a base do logaritmo:
x – 1 > 0
x > 1 3x + 1 > 0
3x > – 1
x > – 1/3
Essa equação logarítmica pertence ao 2° caso. Resolvendo-a, temos:
logx – 1 (3x + 1) = 2
(x – 1)2 = 3x + 1
x² – 2x + 1 = 3x + 1
x² – 5x = 0
x.(x – 5) = 0
x' = 0
x'' – 5 = 0
x'' = 5
Observe que pelas condições de existência (x > 1), a solução x' = 0 não é possível.
Portanto, a única solução para essa equação logarítmica é x'' = 5.
5° exemplo:
log3 log6 x = 0
Aplicando as condições de existência, temos que x > 0 e log6 x> 0. Logo:
log3 (log6 x) = 0
30 = log6 x
log6 x = 1
61 = x
x = 6
LOGARITMO
Logaritmo
Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve
ser elevado para produzir este número.Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3
porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 103). De maneira geral, para quaisquer
dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1,[4]
O logaritmo da base 10 (b = 10) é chamado de logaritmo comum (ou decimal) e tem
diversas aplicações na ciência e engenharia. O logaritmo natural (ou neperiano) tem a
constante irracional e (≈ 2,718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente
em cálculo diferencial. Ainda há o logaritmo binário, no qual se usa base 2 (b = 2), que é
importante para a ciência da computação.
O conceito de logaritmo foi introduzido por John Napier no início do século XVII a fim de
simplificar cálculos, daí a nomenclatura logaritmo neperiano.Ele foi rapidamente adotado
por navegadores, cientistas, engenheiros e outros profissionais para facilitar seus cálculos,
através do uso de réguas de cálculo e tabelas logarítmicas. Algumas etapas tediosas da
multiplicação com vários dígitos podem ser substituídas por consultas a tabelas ou por
somas mais simples devido ao fato de o logaritmo de um produto ser o somatório dos
logaritmos dos fatores:
desde que b, x e y sejam positivos e b ≠ 1.
A atual noção de logaritmo advém de Leonhard Euler, que o relacionou com a função
exponencial no século XVIII.[8] As escalas logarítmicas permitem reduzir grandezas de
elevada amplitude para valores menores. Por exemplo, o decibel é uma unidade logarítmica
que indica a proporção de uma quantidade física (geralmente energia ou intensidade) em
relação a um nível de referência, isto é, estabelece uma razão entre a quantificação da
energia liberada e a amplitude.] Em química, o potencial hidrogeniônico (pH) mede a acidez
e a alcalinidade de soluções aquosas. Os logaritmos ainda são comuns em fórmulas
científicas, na teoria da complexidade computacional e de figuras geométricas chamadas
fractais.Eles descrevem intervalos musicais, aparecem em fórmulas que contam os
números primos, informam vários modelos da psicofísica e podem auxiliar na perícia
contábil.
Do mesmo modo como o logaritmo é o inverso da exponenciação, o logaritmo complexo é a
função inversa da função exponencial aplicada a números complexos. O logaritmo discreto
é outra variante; ele é utilizado na criptografia assimétrica.
Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve
ser elevado para produzir este número.Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3
porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 103). De maneira geral, para quaisquer
dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1,[4]
O logaritmo da base 10 (b = 10) é chamado de logaritmo comum (ou decimal) e tem
diversas aplicações na ciência e engenharia. O logaritmo natural (ou neperiano) tem a
constante irracional e (≈ 2,718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente
em cálculo diferencial. Ainda há o logaritmo binário, no qual se usa base 2 (b = 2), que é
importante para a ciência da computação.
O conceito de logaritmo foi introduzido por John Napier no início do século XVII a fim de
simplificar cálculos, daí a nomenclatura logaritmo neperiano.Ele foi rapidamente adotado
por navegadores, cientistas, engenheiros e outros profissionais para facilitar seus cálculos,
através do uso de réguas de cálculo e tabelas logarítmicas. Algumas etapas tediosas da
multiplicação com vários dígitos podem ser substituídas por consultas a tabelas ou por
somas mais simples devido ao fato de o logaritmo de um produto ser o somatório dos
logaritmos dos fatores:
desde que b, x e y sejam positivos e b ≠ 1.
A atual noção de logaritmo advém de Leonhard Euler, que o relacionou com a função
exponencial no século XVIII.[8] As escalas logarítmicas permitem reduzir grandezas de
elevada amplitude para valores menores. Por exemplo, o decibel é uma unidade logarítmica
que indica a proporção de uma quantidade física (geralmente energia ou intensidade) em
relação a um nível de referência, isto é, estabelece uma razão entre a quantificação da
energia liberada e a amplitude.] Em química, o potencial hidrogeniônico (pH) mede a acidez
e a alcalinidade de soluções aquosas. Os logaritmos ainda são comuns em fórmulas
científicas, na teoria da complexidade computacional e de figuras geométricas chamadas
fractais.Eles descrevem intervalos musicais, aparecem em fórmulas que contam os
números primos, informam vários modelos da psicofísica e podem auxiliar na perícia
contábil.
Do mesmo modo como o logaritmo é o inverso da exponenciação, o logaritmo complexo é a
função inversa da função exponencial aplicada a números complexos. O logaritmo discreto
é outra variante; ele é utilizado na criptografia assimétrica.
terça-feira, 15 de novembro de 2016
questoes resolvidas; equaçao exponencial
Questão 1:Se x é um número real, resolva a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 18)
Δ = 9 + 72
Δ = 81
Para resolver a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas.
32x + 3x + 1 = 18
(3x)2 + 3x · 31= 18
(3x)2 + 3x · 31= 18
Tome y = 3x. Temos a seguinte equação em função de y:
y2 + y · 31= 18
y2 + 3y – 18 = 0
y2 + 3y – 18 = 0
Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela fórmula de Bhaskara:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 18)
Δ = 9 + 72
Δ = 81
y = – b ± √Δ
2.a
2.a
y = – 3 ± √81
2.1
2.1
y = – 3 ± 9
2
2
y1 = – 3 + 9
2
y1 = 6
2
y1 = 3
|
y2 = – 3 – 9
2
y2 = – 12
2
y2 = – 6
|
Voltando à equação y = 3x, temos:
Para y1 = 3
3x = y
3x = 3 x1 = 1 |
Para y2 = – 6
3x = y
3x = – 6 x2 = Ø |
Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = 1.
Resolva a equação exponencial:– 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119
Como temos na equação a adição e a subtração de potências, não podemos escrever o primeiro membro como uma só potência, mas podemos desmembrar as potências na maior quantidade possível. Isso corresponde a escrever a equação da seguinte forma:
– 5x – 1 – 5x + 5x + 2 =
– 5x · 5– 1 – 5x + 5x · 52 =
– 5x · 5– 1 – 5x + 5x · 52 =
Colocando o termo 5x em evidência, temos:
5x · (– 5– 1 – 1 + 52) =
5x · (– 1/5 – 1 + 25) =
5x = 5
x = 1
5x · (– 1/5 – 1 + 25) =
5x = 5
x = 1
Questão 3
(UFJF) Dada a equação 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, podemos afirmar que sua solução é um número:
a) natural.
b) maior do que 1.
c) de módulo maior do que 1.
d) par.
e) de módulo menor do que 1.
Resposta Questão 3
A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, vamos reescrever todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 22 e 8 = 23. Substituindo na equação:
23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1
23x – 2 · (23)x + 1 = (22)x – 1
23x – 2 · 23(x + 1) = 22(x – 1)
23x – 2 · 23x + 3 = 22x – 2
2(3x – 2 ) + (3x + 3) = 22x – 2
23x – 2 · (23)x + 1 = (22)x – 1
23x – 2 · 23(x + 1) = 22(x – 1)
23x – 2 · 23x + 3 = 22x – 2
2(3x – 2 ) + (3x + 3) = 22x – 2
Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação, podemos igualar os expoentes:
(3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2
6x + 1 = 2x – 2
6x – 2x = – 2 – 1
4x = – 3
x = – 3
4
|x| = ¾
6x + 1 = 2x – 2
6x – 2x = – 2 – 1
4x = – 3
x = – 3
4
|x| = ¾
Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra e, que afirma que x é um número de módulo menor do que 1.
sábado, 12 de novembro de 2016
Inequação Exponencial
Inequação Exponencial
O avanço comercial do século XVII fez surgir o cálculo exponencial e os logaritmos. A partir
daí, durante os três séculos que se seguiram, essas ferramentas foram utilizadas como
meios sofisticados de resolução de cálculos. À medida que os estudos nesses campos
foram evoluindo, os cálculos exponenciais e logarítmicos foram se tornando decisivos para
a evolução da matemática e, consequentemente, das várias outras ciências que dela
dependem.
Inequações exponenciais
Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas que
apresentam a incógnita no expoente. Confira alguns exemplos:
Resolução de inequações exponenciais
A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada através das propriedades da
potenciação. Mas lembre-se de que f(x) = ax somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a
< 1, f(x) = ax é decrescente.
Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos
dois membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em
seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se às regras dos sinais:
Caso a > 1, mantenha o sinal original.
Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.
Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções que se seguem. Vamos resolver
os exemplos das inequações anteriores.
2x ≥ 128
Por fatoração, 128 = 27. Portanto:
2x ≥ 27 → como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os
expoentes.
x ≥ 7
S = {x ∈ R | x ≥ 7}
Neste exemplo as bases já são iguais. Porém, é necessário observar que 0 < a < 1. Diante
dessa condição, inverte-se o sinal.
x > 2.
S = {x ∈ R | x > 2}
4x + 4 > 5 . 2x
Perceba que, por fatoração, 4x = 22x e 22x é o mesmo que (2x)². Reescrevendo a
inequação, temos:
(2x)² + 4 > 5 . 2x
Chamando 2x de t, para facilitar a resolução, ficamos com:
t2 + 4 > 5 t
t2 – 5 t + 4 > 0
Aqui temos uma inequação de 2º grau, onde deve ser feito o estudo dos sinais. Não vamos
mostrar o processo de resolução da inequação de 2º grau, visto que o texto trata das
exponenciais. Fica como sugestão de exercícios para os leitores.
Ao resolver, você encontrará D = 9, t1 = 1 e t2 = 4. Como a > 0, a concavidade da parábola
ficará para cima. Isso significa que, como estamos procurando valores que tornem a
inequação positiva, ficamos com:
t < 1 ou t > 4.
Retornando à variável inicial:
t = 2x
2x < 1 → x < 0 → lembre-se que todo número elevado a 1 é igual
ao próprio número, e que todo número elevado a zero é igual a 1.
2x > 4 → 2x > 22 → x > 2.
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2}
2x ≤ 8 → 2x ≤ 23 → x ≤ 3 (S1)
3x – 6 > 0 → 3x > 6 → x > 2 (S2)
A solução final é dada pela interseção das duas soluções encontradas.
S = S1 ∩ S2
S = {x ∈ R | 2 < x ≤ 3}
O avanço comercial do século XVII fez surgir o cálculo exponencial e os logaritmos. A partir
daí, durante os três séculos que se seguiram, essas ferramentas foram utilizadas como
meios sofisticados de resolução de cálculos. À medida que os estudos nesses campos
foram evoluindo, os cálculos exponenciais e logarítmicos foram se tornando decisivos para
a evolução da matemática e, consequentemente, das várias outras ciências que dela
dependem.
Inequações exponenciais
Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas que
apresentam a incógnita no expoente. Confira alguns exemplos:
Resolução de inequações exponenciais
A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada através das propriedades da
potenciação. Mas lembre-se de que f(x) = ax somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a
< 1, f(x) = ax é decrescente.
Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos
dois membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em
seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se às regras dos sinais:
Caso a > 1, mantenha o sinal original.
Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.
Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções que se seguem. Vamos resolver
os exemplos das inequações anteriores.
2x ≥ 128
Por fatoração, 128 = 27. Portanto:
2x ≥ 27 → como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os
expoentes.
x ≥ 7
S = {x ∈ R | x ≥ 7}
Neste exemplo as bases já são iguais. Porém, é necessário observar que 0 < a < 1. Diante
dessa condição, inverte-se o sinal.
x > 2.
S = {x ∈ R | x > 2}
4x + 4 > 5 . 2x
Perceba que, por fatoração, 4x = 22x e 22x é o mesmo que (2x)². Reescrevendo a
inequação, temos:
(2x)² + 4 > 5 . 2x
Chamando 2x de t, para facilitar a resolução, ficamos com:
t2 + 4 > 5 t
t2 – 5 t + 4 > 0
Aqui temos uma inequação de 2º grau, onde deve ser feito o estudo dos sinais. Não vamos
mostrar o processo de resolução da inequação de 2º grau, visto que o texto trata das
exponenciais. Fica como sugestão de exercícios para os leitores.
Ao resolver, você encontrará D = 9, t1 = 1 e t2 = 4. Como a > 0, a concavidade da parábola
ficará para cima. Isso significa que, como estamos procurando valores que tornem a
inequação positiva, ficamos com:
t < 1 ou t > 4.
Retornando à variável inicial:
t = 2x
2x < 1 → x < 0 → lembre-se que todo número elevado a 1 é igual
ao próprio número, e que todo número elevado a zero é igual a 1.
2x > 4 → 2x > 22 → x > 2.
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2}
2x ≤ 8 → 2x ≤ 23 → x ≤ 3 (S1)
3x – 6 > 0 → 3x > 6 → x > 2 (S2)
A solução final é dada pela interseção das duas soluções encontradas.
S = S1 ∩ S2
S = {x ∈ R | 2 < x ≤ 3}
Função Exponencial
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é
denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de
dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se
encontra no expoente.
Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x
precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos
duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as
condições propostas:
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de
variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por
juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de
bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções
exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo
potenciação.
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t
anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real.
Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi
comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500
bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do
país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é
denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de
dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se
encontra no expoente.
Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x
precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos
duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as
condições propostas:
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de
variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por
juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de
bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções
exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo
potenciação.
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t
anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real.
Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi
comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500
bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do
país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
Equação Exponencial
Equação exponencial
As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Observe
os exemplos:
2x = 256
3x+1 = 9
4x = 1024
2x+2 = 512
As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos
igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes. Observe
a resolução da seguinte equação:
5x = 625 (fatorando 625 temos: 54)
5x = 54
x = 4
A solução da equação exponencial será x = 4.
Observação: fatorar significa decompor o número em fatores primos, isto é, escrever o
número através de uma multiplicação de fatores iguais utilizando as regras de potenciação.
Acompanhe outro exemplo:
Vamos determinar a solução da equação 2x + 8 = 512.
Devemos escrever 512 na forma fatorada, 512 = 29.
Então:
2x + 8 = 29
x + 8 = 9
x = 9 – 8
x = 1
A solução da equação exponencial 2x + 8 = 512 é x = 1.
Exemplo 1
Resolva a equação .
Transforme a raiz quinta em potência:
2x = 1281/5
Pela fatoração do número 128 temos 27, então:
2x = (27)1/5
x = 7 . 1/5
x = 7/5
Portanto, a solução da equação exponencial é x = 7/5.
Exemplo 2
Encontre o valor de x que satisfaça a equação exponencial 2x² - 7x + 12 = 1.
Para igualar as bases, vamos lembrar a regra da potenciação que diz o seguinte: “todo
número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.”
Com base na regra, podemos dizer que 1 = 20, então:
2x² - 7x + 12 = 20
x² - 7x + 12 = 0, temos uma equação completa do 2º grau que deverá ser resolvida pelo
teorema de Bháskara. Aplicando o método resolutivo descobrimos os seguintes valores:
x’ = 3 e x” = 4.
Portanto, os valores que satisfazem a equação exponencial 2x² - 7x + 12 = 1 é x = 3 e x = 4.
As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Observe
os exemplos:
2x = 256
3x+1 = 9
4x = 1024
2x+2 = 512
As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos
igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes. Observe
a resolução da seguinte equação:
5x = 625 (fatorando 625 temos: 54)
5x = 54
x = 4
A solução da equação exponencial será x = 4.
Observação: fatorar significa decompor o número em fatores primos, isto é, escrever o
número através de uma multiplicação de fatores iguais utilizando as regras de potenciação.
Acompanhe outro exemplo:
Vamos determinar a solução da equação 2x + 8 = 512.
Devemos escrever 512 na forma fatorada, 512 = 29.
Então:
2x + 8 = 29
x + 8 = 9
x = 9 – 8
x = 1
A solução da equação exponencial 2x + 8 = 512 é x = 1.
Exemplo 1
Resolva a equação .
Transforme a raiz quinta em potência:
2x = 1281/5
Pela fatoração do número 128 temos 27, então:
2x = (27)1/5
x = 7 . 1/5
x = 7/5
Portanto, a solução da equação exponencial é x = 7/5.
Exemplo 2
Encontre o valor de x que satisfaça a equação exponencial 2x² - 7x + 12 = 1.
Para igualar as bases, vamos lembrar a regra da potenciação que diz o seguinte: “todo
número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.”
Com base na regra, podemos dizer que 1 = 20, então:
2x² - 7x + 12 = 20
x² - 7x + 12 = 0, temos uma equação completa do 2º grau que deverá ser resolvida pelo
teorema de Bháskara. Aplicando o método resolutivo descobrimos os seguintes valores:
x’ = 3 e x” = 4.
Portanto, os valores que satisfazem a equação exponencial 2x² - 7x + 12 = 1 é x = 3 e x = 4.
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