Questão 1 (PM ES 2013 – Exatus)
Em linguagem matemática, sempre que relacionamentos duas grandezas variáveis estamos empregando o conceito de função. A função y = x + 5 é chamada função polinomial do 1º grau. Represente seu gráfico. Resolução: Basta sabermos que o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta e que o valor de “a” indica se é crescente ou decrescente, neste caso a é menor que zero, então a função é decrescente, e também que o valor de “b” indica onde a reta corta o eixo y, no caso b = 5.
Questão 2 (PRF 2013 – Cespe) Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo linear para a previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja representado pela função F(t) = At + B, tal que F(2007) = 129.000 e F(2009) = 159.000. Com base nessas informações e no gráfico apresentado, julgue os itens a e b. a) O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500. Resolução: Basta observar que temos uma função afim, onde sabemos dois pontos, assim fica fácil descobrir os valores de A e B. 1) 129000 = 2007A + B 2) 159000 = 2009A + B 1) 129000 – 2007A = B 2) 159000 – 2009A = B Daí,
129000 – 2007A = 159000 – 2009A 2009A – 2007A = 159000 – 129000 2A = 30000 A = 30000/2 = 15000 Questão CORRETA b) A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é superior a 8.000. Resolução: Como já sabemos o valor de A, vamos agora descobrir o valor de B: F(2009) = 159000 159000 = 2009A + B 159000 = 2009.15000 + B B = 159000 – 30135000 B = – 29976000 Temos então que nossa função é: F(t) = 15000t – 29976000 F(2011) = 15000.2011 – 29976000 F(2011) = 189000 e em 2011 tiveram 189000 acidentes Questão ERRADA. Questão 3 (PM SC 2011 – Cesiep) Duas empresas A e B têm ônibus com 50 assentos. Em uma excursão para Balneário Camboriú, as duas empresas adotam os seguintes critérios de pagamento: A empresa A cobra $25,00 por passageiro mais uma taxa fixa de $400,00. A empresa B cobra $29,00 por passageiro mais uma taxa fixa de $250,00.
Perguntase: Qual é o número mínimo de excursionistas para que o contrato com a empresa A fique mais barato do que o contrato da empresa B? a) 37 b) 38 c) 35 d) 40 Resolução: Note que em ambas empresas, é cobrado um valor fixo mais uma quantidade por passageiro. Sendo x a quantidade de passageiros: A função que representa o valor cobrado pela empresa A em função da quantidade de passageiros é: f(x) = 25x + 400 A função que representa o valor cobrado pela empresa B em função da quantidade de passageiros é: f(x) = 29x + 250 Para que a empresa A fique mais barata que a empresa B devemos ter: 29x + 250 > 25x + 400 29x – 25x > 400 – 250 4x > 150 x > 150/4 x > 37,5 Logo, devemos ter pelo menos 38 excursionistas. Questão 4 (Sejus ES 2009 – Cespe).Considerando uma função real f: R > R que satisfaça à condição f(x+1) = 1/f(x), para cada x∈R, julgue o seguinte item: “Se, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o gráfico de f for uma reta, então essa reta é paralela ao eixo Ox.”
CORRETO Pelo exercício anterior, temos f(2) = f(0) = f(2). Veja que se o gráfico for uma reta, ela deve passar obrigatoriamente pelos 3 pontos que são colineares. Questão 5 (PRF 2008 – Cespe) Considere que um cilindro circular reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da base igual a 10 centímetros e a altura igual a 25 centímetros, de forma que a base do cilindro esteja no mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, respectivamente, assinale a opção correta. a) A função afim que descreve h como função de r é crescente. b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática. c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50 π r (1 – r/10) d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone. e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros. Resolução: Veja na figura que o cilindro está dentro do cone.
Vamos agora analisar cada uma das alternativas. a) A função afim que descreve h como função de r é crescente. Basta verificar que a medida que r aumenta, h diminui, ou seja, a função é decrescente. Para encontrar a equação de h, vamos usar o método dos triângulos proporcionais. Se o triângulo maior, ABC, e o triângulo menor CDE. Veja:
(o fato de 25/10 ser negativo nos prova que a função afim é decrescente) (o fato de 25/10 ser negativo nos prova que a função afim é decrescente) b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática. V = π.r².h = π.r².(25 – 25r/10) = 25π.r² – 25π.r³/10 Veja que a função é cúbica e não quadrática. c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50 r. A(r) = base.altura = 2π.r.h = 2π.r.(25 – 25r/10) = 50π.r (1 – r/10) d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone. h = 25 – 25r/10 = 25 – 25.2/10 = 25 – 5 = 20 e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros. A(r) = 50π.r (1 – r/10) = 50π.r – 5π.r². (função quadrática decrescente, o ponto máximo de r é o vértice) xv = b/2a – 50π/2(5π) = 5 Questão 6 (Petrobrás 2010) A função g(x) = 84. x representa o gasto médio, em reais, com a compra de água mineral de uma família de 4 pessoas em x meses. Essa família pretende deixar de comprar água mineral e instalar em sua residência um purificador de água que custa R$ 299,90. Com o dinheiro economizado ao deixar de comprar água mineral, o tempo para recuperar o valor investido na compra do purificador ficará entre (A) dois e três meses. (B) três e quatro meses. (C) quatro e cinco meses. (D) cinco e seis meses.
(E) seis e sete meses. Resolução: Como a função afim g(x) representa o gasto médio e queremos saber quando o investimento de 299,90 será recuperado, basta igualarmos: 84.x = 299,90 x = 299,90 / 84 x = 3,57 Logo, entre 3 e 4 meses.
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