Logaritmo Video 1

Equação Exponencial Video 1

logaritmos por: Phelipe Silva

exercicios LOG

Exercício 1: (FUVEST 2010)
A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justificase pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.
Está correto o que se afirma somente em:

A)	I.
B)	II.
C)	III.
D)	I e II.
E)	I e III.

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Exercício 2: (UDESC 2008)
Sabendo que log₃(7x - 1) = 3 e que log₂(y³ + 3) = 7 pode-se afirmar que log_y(x² + 9) é igual a:

A)	6
B)	2
C)	4
D)	-2
E)	-4

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Exercício 3: (UFMG 2009)
Numa calculadora científica, ao se digitar um número positivo qualquer e, em seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do número inicialmente digitado.
Digita-se o número 10.000 nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, a tecla log, até aparecer um número negativo no visor. Então, é CORRETO afirmar que o número N é igual a:

A)	2
B)	3
C)	4
D)	5

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Exercício 4: (UDESC 2008)
Se log_a b = 3 e log_ab c = 4, então log_a c é:

A)	12
B)	16
C)	24
D)	8
E)	6

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Exercício 5: (UFMS 2010)
Dado o sistema a seguir, e considerando log o logaritmo na base 10, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).

1)	log ( x - 9y ) = 0
2)	log (x + 9y) = 1
4)	( x + y ) = 10
8)	( x × y ) = 10
16)	( x ÷ y ) = 10

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Função Logarítmica
As funções na forma f(x) = logax são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ≠ 1, sendo f
: R*+ → R. Exemplos:
f(x) = log2x
f(x) = log5(x – 2)
f(x) = log(a – 2)4
f(x) = log0,5x
O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições:
Crescente: base maior que 1.
Decrescente: base maior que zero e menor que 1.
Função crescente
Função decrescente
As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades destinadas ao estudo
dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conhecimento prévio dessas
propriedades.
Na equação: Q = Q0 * e– r * t, Q representa a massa final da substância, Q0, a massa
inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em anos. Note que nessa equação, a massa final
está em função do tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em quantos anos
50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa de variação de 8% ao ano.
O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e 9 meses.

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita,
nesses casos, pertence ao logaritmando ou à base.
As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita,
nesses casos, está no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um logaritmo possui o
seguinte formato:
loga b = x ↔ ax = b,
*a é a base do logaritmo; b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos as propriedades operatórias dos
logaritmos e os conceitos tradicionais de resolução de inequações. Assim como fazemos
com as equações logarítmicas, é importante verificar as condições de existência dos
logaritmos (tanto a base quanto o logaritmando devem ser maiores que zero).
Ao desenvolver as inequações logarítmicas, podemos alcançar duas situações:
1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base:
loga b < loga c
Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for maior do que 1 (a > 1), podemos
desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os logaritmandos, isto é:
Se a > 1 , então loga b < loga c ↔ b < c
Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao resolver a inequação
logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação entre os
logaritmandos, ou seja:
Se 0 > a > 1 , então loga b < loga c ↔ b > c
2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real:
loga b < x
Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma desigualdade entre
um logaritmo e um número real, podemos aplicar a propriedade básica do logaritmo,
mantendo intacto o símbolo da desigualdade:
loga b < x ↔ b < ax
ou
loga b > x ↔ b > ax
Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações logarítmicas:
Exemplo 1: log5 (2x – 3) < log5 x
Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:
2x – 3 > 0
2x > 3
x > 3/2
x > 0
Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos
então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:
log5 (2x – 3) < log5 x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3
Nesse caso, a solução é .
Exemplo 2: log2 (x + 3) ≥ 3
Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:
x + 3 > 0
x > – 3
Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Podemos resolver
o logaritmo da forma convencional, mantendo a desigualdade:
log2 (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 23
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5
A solução é .
Exemplo 3: log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:
3x > 0
x > 0 2x + 5 > 0
2x > – 5
x > – 5/2
Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é menor do
que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os
logaritmandos:
log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x – 2x < 5
x < 5
Nesse caso, a solução é .