questoes resolvidas; equaçao exponencial

Questão 1:Se x é um número real, resolva a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18:

Para resolver a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas.

3^2x + 3^{x + 1} = 18
(3^x)² + 3^x · 3¹= 18

Tome y = 3^x. Temos a seguinte equação em função de y:

y² + y · 3¹= 18
y² + 3y – 18 = 0

Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 18)
Δ = 9 + 72
Δ = 81

y = – b ± √Δ
     2.a

y = – 3 ± √81
      2.1

y = – 3 ± 9
      2

y1 = – 3 + 9         2 y1 = 6         2 y1 = 3

y2 = – 3 – 9        2 y2 = – 12         2 y2 = – 6

Voltando à equação y = 3^x, temos:

Para y1 = 3 3x = y 3x = 3 x1 = 1

Para y2 = – 6 3x = y 3x = – 6 x2 = Ø

Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = 1.

Resolva a equação exponencial:– 5^{x – 1} – 5^x + 5^{x + 2} = 119

Como temos na equação a adição e a subtração de potências, não podemos escrever o primeiro membro como uma só potência, mas podemos desmembrar as potências na maior quantidade possível. Isso corresponde a escrever a equação da seguinte forma:

– 5^{x – 1} – 5^x + 5^{x + 2} =
– 5^x · 5^{– 1} – 5^x + 5^x · 5² =

Colocando o termo 5^x em evidência, temos:

5^x · (– 5^{– 1} – 1 + 5²) =
5^x · (^{– 1}/₅ – 1 + 25) =


5^x = 5
x = 1

Questão 3

(UFJF) Dada a equação 2^{3x – 2} · 8^{x + 1} = 4^{x – 1}, podemos afirmar que sua solução é um número:

a) natural.

b) maior do que 1.

c) de módulo maior do que 1.

d) par.

e) de módulo menor do que 1.

Resposta Questão 3

A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 2^{3x – 2} · 8^{x + 1} = 4^{x – 1}, vamos reescrever todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 2² e 8 = 2³. Substituindo na equação:

2^{3x – 2} · 8^{x + 1} = 4^{x – 1}
2^{3x – 2} · (2³)^{x + 1} = (2²)^{x – 1}
2^{3x – 2} · 2^{3(x + 1)} = 2^{2(x – 1)}
2^{3x – 2} · 2^{3x + 3} = 2^{2x – 2}
2^{(3x – 2 ) + (3x + 3)} = 2^{2x – 2}

Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação, podemos igualar os expoentes:

(3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2
6x + 1 = 2x – 2
6x – 2x = – 2 – 1
4x = – 3
x = – 3
      4
|x| = ¾

Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra e, que afirma que x é um número de módulo menor do que 1.